己知；x、yz＞0，则xy+2yzx2+y2+z2的最大值为（）A．52B．23C．22D．33

Question

己知；x、y z＞0，则(xy+2yz)/(x2+y2+z2)的最大值为（　　）

A．(√(5))/(2)
B．(√(2))/(3)
C．(√(2))/(2)
D．(√(3))/(3)

Answer 1

设(xy+2yz)/(x2+y2+z2)≤(1)/(a)恒成立，此不等式可化为
x²+y²+z²-axy-2ayz≥0
即(x−(ay)/(2))2+(z−ay)2+(1−(5)/(4)a2)y2≥0恒成立
由于(x−(ay)/(2))2+(z−ay)2≥ 0，
故(1−(5)/(4)a2)y2≥0
于是有a≤(2)/(√(5))
故(xy+2yz)/(x2+y2+z2)≤(√(5))/(2)恒成立
容易验证当x＝(y)/(√(5))且z=(2y)/(√(5))时取最大值(√(5))/(2)
故选A