1,已知limx->0[sin2x+xf(x)]/x^3=0则limx->0[2+f(x)]/x^2=?2,直线{x+y+3z=0,x-y-z=0,与平面x-y-z+1=0的夹角为?

Question

1 ,已知lim x->0 [sin2x+xf(x)]/x^3=0 则limx->0 [2+f(x)]/x^2= ?2,直线{x+y+3z=0,x-y-z=0,与平面
x-y-z+1=0的夹角为?

Answer 1

1、当x→0时,lim(sinx/x)=1,limcosx=1,则
lim{[2+f(x)]/x²}=lim[2*(sinx/x)*cosx/x²]+lim[f(x)/x²]=lim[sin(2x)/x³]+lim[xf(x)/x³]=lim{[sin(2x)+xf(x)]/x³}=0
2、联立两个平面方程求得直线方程为x=y/2=-z,即直线的一个方向向量r=(1,2,-1)
平面x-y-z+1=0的法向量n=(1,-1,-1)
设这两个向量之间的夹角为θ,则有
cosθ=(向量r•向量n)/(|向量r||向量n|)=[1*1+2*(-1)+(-1)*(-1)]/{√[1²+2²+(-1)²]*√[1²+(-1)²+(-1)²]}=0
故θ=arccos0=90°
所以,直线和平面的夹角是0°.