P＝(x^3)(y^2)(z^7),x、y、z>=0,x+y+z=13,求P的最大值.(答案中P可留为多项式相乘)

Question

P＝(x^3)(y^2)(z^7),x、y、z >=0,x+y+z=13,求P的最大值.(答案中P可留为多项式相乘)

Answer 1

用拉格朗日方法做：
f(x,y,z)=P+λ(x+y+z-13),
由∂f/∂x=0,∂f/∂y=0,∂f/∂z=0,∂f/∂λ=0获得方程：
∂f/∂x=(3x^2)(y^2)(z^7)+λ=0
∂f/∂y=(x^3)(2y)(z^7)+λ=0
∂f/∂z=(x^3)(y^2)(7z^6)+λ=0
∂f/∂λ=x+y+z-13=0
也就是
(3x^2)(y^2)(z^7)=-λ 【1】
(x^3)(2y)(z^7)=-λ 【2】
(x^3)(y^2)(7z^6)=-λ 【3】
x+y+z=13
【1】两边都变成原来的(-2)次方：
[(3x^2)(y^2)(z^7)]^(-2) = (-λ)^(-2)
也就是x^(-4)y^(-4)z^(-14)=9λ^(-2) 【4】
【2】两边都变成原来的(-5)次方：
[(x^3)(2y)(z^7)]^(-5) = (-λ)^(-5)
也就是x^(-15)y^(-5)z^(-35)=-32λ^(-5) 【5】
【3】两边都变成原来的(10)次方：
[(x^3)(y^2)(7z^6)]^10=(-λ)^10
也就是x^30y^20z^60=(λ^10)/(7^10) 【6】
【4】【5】【6】三个式子相乘：
x^(-4-15+30)y^(-4-5+20)z^(-14-35+60)=-λ^(-2-5+10)×288/(7^10)
也就是x^11 y^11 z^11 = -λ^3×288/(7^10)
求出xyz来,然后带回【1】【2】【3】,将x,y,z分别用λ表示出来,然后再代入x+y+z=13解出λ.
写起来已经够繁琐了.