∫∫∫zdv,其中x²+y²≤2,z≤x²+y²,z≥0

Question

∫∫∫zdv,其中x²+y²≤2,z≤x²+y²,z≥0

Answer 1

截面法比较简单,积分区域为一个圆柱中挖去一个旋转抛物面
以竖坐标为z的平面截立体,截面为Dz：z≤x²+y²≤2
先在Dz上做二重积分,然后积z
∫∫∫zdv
=∫[0--->√2] zdz∫∫ 1dxdy 二重积分的积分区域为：z≤x²+y²≤2,环形区域
二重积分的被积函数为1,结果为区域面积,环形区域面积为：2π-πz
=∫[0--->√2] z(2π-πz)dz
=π∫[0--->√2] (2z-z²)dz
=π(z²-1/3z³) [0--->√2]
=π(2-2√2/3)