已知函数f（x）=ex-ex，g（x）=2ax+a，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）求证：f（x）≥0；（2）若存在x0∈R，使f（x0）=g（x0），求a的取值范围；（3）若对任意的x∈（-∞，-1），f（x）≥g（

Question

已知函数f（x）=e^x-ex，g（x）=2ax+a，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）求证：f（x）≥0；
（2）若存在x₀∈R，使f（x₀）=g（x₀），求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈（-∞，-1），f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值．

Answer 1

（1）f′（x）=e^x-e，
∴当x>1时，f′（x）>0，当x<1时，f′（x）<0，
∴f（x）在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f_min（x）=f（1）=0，
∴f（x）≥0．
（2）令f（x）=g（x）得a=(ex-ex)/(2x+1)，
设h（x）=(ex-ex)/(2x+1)，则h′（x）=(ex(2x-1))/((2x+1)2)，
∴当x>(1)/(2)时，h′（x）>0，当x<(1)/(2)时，h′（x）<0，
∴h（x）在（-∞，(1)/(2)）上是减函数，在（(1)/(2)，+∞）上是增函数，
∵

lim

x→-(1)/(2)-

h（x）=-∞，

lim

x→-∞

h（x）=-(e)/(2)，h（1）=0，

lim

x→-(1)/(2)+

h（x）=+∞，

lim

x→+∞

h（x）=+∞．
∵存在x₀∈R，使f（x₀）=g（x₀），∴a=(ex-ex)/(2x+1)有解．
∴a≥0或a<-(e)/(2)．
（3）∵当x∈（-∞，-1）时，f（x）≥g（x）恒成立，即e^x-ex≥a（2x+1）在（-∞，-1）上恒成立，
∴a≥(ex-ex)/(2x+1)在（-∞，-1）上恒成立．
由（2）可知h（x）=(ex-ex)/(2x+1)在（-∞，-1）上是减函数，
且

lim

x→-∞

h（x）=-(e)/(2)，
∴a≥-(e)/(2)．
即a的最小值为-(e)/(2)．