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已知函数f(x)=ex-ex,g(x)=2ax+a,其中e为自然对数的底数,a∈R.(1)求证:f(x)≥0;(2)若存在x0∈R,使f(x0)=g(x0),求a的取值范围;(3)若对任意的x∈(-∞,-1),f(x)≥g(
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已知函数f(x)=ex-ex,g(x)=2ax+a,其中e为自然对数的底数,a∈R.
(1)求证:f(x)≥0;
(2)若存在x0∈R,使f(x0)=g(x0),求a的取值范围;
(3)若对任意的x∈(-∞,-1),f(x)≥g(x)恒成立,求a的最小值.
(1)求证:f(x)≥0;
(2)若存在x0∈R,使f(x0)=g(x0),求a的取值范围;
(3)若对任意的x∈(-∞,-1),f(x)≥g(x)恒成立,求a的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)f′(x)=ex-e,
∴当x>1时,f′(x)>0,当x<1时,f′(x)<0,
∴f(x)在(-∞,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴fmin(x)=f(1)=0,
∴f(x)≥0.
(2)令f(x)=g(x)得a=
,
设h(x)=
,则h′(x)=
,
∴当x>
时,h′(x)>0,当x<
时,h′(x)<0,
∴h(x)在(-∞,
)上是减函数,在(
,+∞)上是增函数,
∵
h(x)=-∞,
h(x)=-
,h(1)=0,
h(x)=+∞,
h(x)=+∞.
∵存在x0∈R,使f(x0)=g(x0),∴a=
有解.
∴a≥0或a<-
.
(3)∵当x∈(-∞,-1)时,f(x)≥g(x)恒成立,即ex-ex≥a(2x+1)在(-∞,-1)上恒成立,
∴a≥
在(-∞,-1)上恒成立.
由(2)可知h(x)=
在(-∞,-1)上是减函数,
且
h(x)=-
,
∴a≥-
.
即a的最小值为-
.
∴当x>1时,f′(x)>0,当x<1时,f′(x)<0,
∴f(x)在(-∞,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴fmin(x)=f(1)=0,
∴f(x)≥0.
(2)令f(x)=g(x)得a=
ex-ex |
2x+1 |
设h(x)=
ex-ex |
2x+1 |
ex(2x-1) |
(2x+1)2 |
∴当x>
1 |
2 |
1 |
2 |
∴h(x)在(-∞,
1 |
2 |
1 |
2 |
∵
lim | ||
x→-
|
lim |
x→-∞ |
e |
2 |
lim | ||
x→-
|
lim |
x→+∞ |
∵存在x0∈R,使f(x0)=g(x0),∴a=
ex-ex |
2x+1 |
∴a≥0或a<-
e |
2 |
(3)∵当x∈(-∞,-1)时,f(x)≥g(x)恒成立,即ex-ex≥a(2x+1)在(-∞,-1)上恒成立,
∴a≥
ex-ex |
2x+1 |
由(2)可知h(x)=
ex-ex |
2x+1 |
且
lim |
x→-∞ |
e |
2 |
∴a≥-
e |
2 |
即a的最小值为-
e |
2 |
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