已知函数f（x）=aex-blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=(1e-1)x+1．（1）求a，b；（2）证明：f（x）>0．

Question

已知函数f（x）=ae^x-blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=((1)/(e)-1)x+1．
（1）求a，b；
（2）证明：f（x）>0．

Answer 1

（1） 函数f（x）=ae^x-blnx，
求导函数可得f′（x）=ae^x-(b)/(x)（x>0）
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=((1)/(e)-1)x+1，
∴f（1）=(1)/(e)，f′（1）=(1)/(e)-1，
∴ae=(1)/(e)，ae-b=(1)/(e)-1，
∴a=(1)/(e2)，b=1；
（2）证明：函数f（x）=e^x-2-lnx，
由y=e^x-2-（x-1）的导数y′=e^x-2-1，
当x>2时，导数y′>0，函数y递增；
当x<2时，导数y′<0，函数y递减．
可得函数y在x=2处取得极小值也为最小值0，
即有e^x-2≥x-1；
由y=lnx-（x-1）的导数为y′=(1)/(x)-1，
当x>1时，导数y′<0，函数y递减；
当0<x<1时，导数y′>0，函数y递增．
可得函数y在x=1处取得极大值也为最大值0，
即有lnx≤x-1；
由于等号不同时取得，
则e^x-2>lnx，
即有f（x）>0成立．