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若A^2-2A=8I,证明:A的特征值只有4和-2
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若A^2-2A=8I,证明:A的特征值只有4和-2
▼优质解答
答案和解析
设 λ 是A的特征值
则 λ^2-2λ-8 是 A^2-2A-8I 的特征值
而 A^2-2A-8I=0,0矩阵的特征值只有0
所以 λ^2-2λ-8 = 0
所以 (λ-4)(λ+2) = 0
所以 λ=4 或 λ=-2
所以 A的特征值只有4和-2
则 λ^2-2λ-8 是 A^2-2A-8I 的特征值
而 A^2-2A-8I=0,0矩阵的特征值只有0
所以 λ^2-2λ-8 = 0
所以 (λ-4)(λ+2) = 0
所以 λ=4 或 λ=-2
所以 A的特征值只有4和-2
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