求(1-√3i/2+2i)^8的立方根

Question

求(1-√3i/2+2i)^8的立方根

Answer 1

求(1-√3i/2+2i)^8的立方根
【分析】回答这个题目的风险太大,我不知道是√3i做分子还是1-√3i做分子,同样我也不知道是2做分母还是2+2i做分母,这对解题太重要了,不过我选择了一种可能,就是1-√3i做分子,而2+2i做分母,我想写成这种形式会好一些：[（1-√3i)/(2+2i)]^8
【解】先将分子和分母分别化成三角形式
1-√3i=2（1/2-√3/2i)=2(cos300+isin300)
2+2i=2√2(√2/2+√2/2i)=2√2(cos45+isin45)
用笛美佛定理,分别将1-√3i和2+2i的8次方算出来
（1-√3i）^8=2^8(cos300+isin300)^8=2^8(cos2400+isin2400) (诱导公式化简）
=2^8(-1/2+i√3/2)
（2+2i）^8=2^8(√2)^8(cos45+isin45)^8=2^12(cos360+isin360)
=2^12
所以：原式={[(1-√3i)(2-2i)]/8}^8=（1-√3i）^8/（2+2i）^8=-1/32+i√3/32
提示：本题容易先做复数除法,但是当得到一个比较离谱的商后,应该赶快改弦更张,先乘方,再除法.
【OK】