（2008•崇文区一模）已知抛物线C：y=ax2，点P（1，-1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0．（I）求抛物线C

Question

（2008•崇文区一模）已知抛物线C：y=ax²，点P（1，-1）在抛物线C上，过点P作斜率为k₁、k₂的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且满足k₁+k₂=0．
（I）求抛物线C的焦点坐标；
（II）若点M满足

BM

＝

MA

，求点M的轨迹方程．

Answer 1

（I）将P（1，-1）代入抛物线C的方程y=ax²得a=-1，
∴抛物线C的方程为y=-x²，即x²=-y．
焦点坐标为F（0，-(1)/(4)）．
（II）设直线PA的方程为y+1=k₁（x-1），
联立方程

y+1＝k1(x−1)

y＝−x2.

消去y得x²+k₁x-k₁-1=0，
则1•x₁=-k₁-1，即x₁=-k₁-1．
由△=k₁²-4（-k₁-1）=（k₁+2）²＞0，得k₁≠-2．
同理直线PB的方程为y+1=k₂（x-1），
联立方程

y+1＝k2(x−1)

y＝−x2.

消去y得x²+k₂x-k₂-1=0，
则1•x₂=-k₂-1，即x₂=-k₂-1．且k₂≠-2．
又∵k₁+k₂=0，∴k₁≠2．
设点M的坐标为（x，y），由

BM

＝

MA

，则x＝(x1+x2)/(2).x＝(−k1−1−k2−1)/(2)＝(−2−(k1+k2))/(2).
又∵k₁+k₂=0，∴x=-1．

作业帮用户 2017-09-29 举报