设函数f(x)＝x−1xlog2(x−1)−log2x（x＞1）．（I）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若m，t∈R+，且1m+1t＝1，求证：tlog2m+mlog2t≤mt；（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且1a1+1a2+1a3+…+1a2n＝1，求证：l

Question

设函数f(x)＝(x−1)/(x)log2(x−1)−log2x（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R⁺，且(1)/(m)+(1)/(t)＝1，求证：tlo

g

2

m+mlo

g

2

t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且(1)/(a1)+(1)/(a2)+(1)/(a3)+…+(1)/(a2n)＝1，求证：(log2a1)/(a1)+(log2a2)/(a2)+(log2a3)/(a3)+…+(log2a2n)/(a2n)≤n．

Answer 1

（I）求导数可得：f′(x)＝(1)/(x2)log2(x−1)（x＞1）
令f′（x）≥0，得x≥2，所以f（x）在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增．
所以f（x）_min=f（2）=-1．
（Ⅱ）证明：(log2m)/(m)+(log2t)/(t)=(log2m)/(m)-(log2(1)/(t))/(t)=(log2m)/(m)-（1−(1)/(m)）log2(1−(1)/(m))
=-[(m−1)/(m)log2(m−1)−log2m]
由（I）知当x＞1时，(x−1)/(x)log2(x−1)−log2x≥−1，
又m，t∈R⁺，且(1)/(m)+(1)/(t)＝1，∴m＞1
∴(m−1)/(m)log2(m−1)−log2m≥-1
∴(log2m)/(m)+(log2t)/(t)≤1
∴tlo

g

2

m+mlo

g

2

t≤mt．
（Ⅲ）证明：用数学归纳法证明如下：
1°当n=1时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假设n=k时不等式成立，
即若a1，a2，a3，…，a2k∈R+，且(1)/(a1)+(1)/(a2)+

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问题解析

（I）求导数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值；
（Ⅱ）证明tlo

g

2

m+mlo

g

2

t≤mt，只要证明(log2m)/(m)+(log2t)/(t)≤1；
（Ⅲ）用数学归纳法，关键是证明当n=k+1时不等式也成立，同时使用归纳假设．

名师点评

本题考点：

用数学归纳法证明不等式；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，解题的关键是数学归纳法的第2步，有难度．

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