已知函数g（x）=ax2-4ax+b（a>0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2，设f（x）=g(x)x．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若不等式f（

Question

已知函数g（x）=ax²-4ax+b（a>0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2，设f（x）=(g(x))/(x)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-2，2]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）g（x）=ax²-4ax+b（a>0）的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，
故函数g（x）=ax²-4ax+b（a>0）在区间[0，1]上为减函数，
∵函数g（x）=ax²-4ax+b（a>0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2，
∴

g(0)=1

g(1)=-2

解得a=1，b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=x²-4x+1，f（x）=(g(x))/(x)=x+(1)/(x)-4，
∴f′（x）=1-(1)/(x2)，
∵x∈（1，+∞），
∴f′（x）>0，
∴f（x）在区间（1，+∞）上的单调递增．
（Ⅲ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化为：2^x+(1)/(2x)-4-k•2^x≥0，
即k≤1+((1)/(2x))2-4•((1)/(2x)) ，
令t=(1)/(2x)，
∵x∈[-2，2]，
∴t∈[(1)/(4)，4]，
令h（t）=t²-4t+1，t∈[(1)/(4)，4]，
∴h（t）∈[-3，1]，
∴k≤1．
故所以k的取值范围是k≤1