设函数f（x）=lnn-1i=1ix+nxan，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）>（x-1）lnn在区

Question

设函数f（x）=ln (n-1i=1ix+nxa)/(n)，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）>（x-1）lnn在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

不等式f（x）>（x-1）lnn，即
ln(1x+2x+…+(n-1)x+nxa)/(n)>lnn^x-1，
∵对数的底e>1，
∴原不等式可化为1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x+n^xa>n^x，
移项得（1-a）n^x<1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，
因为n是正整数，所以两边都除以n^x，得：
1-a<（(1)/(n)）^x+（ (2)/(n)）^x+（(3)/(n)）^x+…+（(n-1)/(n)）^x，…（*）
不等式f（x）>（x-1）lnn在区间[1，+∞）上有解，
即（*）式的右边的最大值大于1-a，
∵g（x）=（(1)/(n)）^x+（(2)/(n)）^x+（(3)/(n)）^x+…+（(n-1)/(n)）^x 在[1，+∞）上是一个减函数，
∴当x=1时，g（x）的最大值为(1)/(n)+(2)/(n)+(3)/(n)+…+(n-1)/(n)=(1)/(n)•(n(n-1))/(2)=(n-1)/(2)，
因此1-a<(n-1)/(2)，
得实数a的取值范围是a>1-(n-1)/(2)，结合n≥2得a>(1)/(2)，
故答案为：{a|a>(1)/(2)}．