平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上到平面xoy最短的点（可以用多元微积分的方法做吗

Question

平面x/3+y/4+z/5=1和柱面x^2+y^2=1的交线上到平面xoy最短的点（可以用多元微积分的方法做吗

Answer 1

几何法：
设柱面x^2+y^2=1交xOy平面于圆O：x^2+y^2=1(z=0)
平面x/3+y/4+z/5=1交xOy平面于直线AB：x/3+y/4=1(z=0),A(0,4,0),B(3,0,0)
过O做OC⊥AB于C,交圆O于D
cosCOB=sinABO=4/5
sinCOB=cosABO=3/5
所以D点坐标为(4/5,3/5,0)
所求点即为过D点且垂直于xOy平面的直线与平面x/3+y/4+z/5=1的交点
将D点坐标代入平面方程即得所求点坐标(4/5,3/5,35/12)
解析法：
设该点坐标为(cosa,sina,z),a∈[0,2π)
则(cosa)/3+(sina)/4+z/5=1
z=5-(25/12)((4/5)cosa+(3/5)sina)
=5-(25/12)sin(a+b)
其中b∈(0,π/2),且sinb=4/5,cosb=3/5
当a+b=π/2+2kπ时,k∈Z
z最小为35/12
此时a=π/2-b
cosa=sinb=4/5,sina=cosb=3/5
故所求点坐标为(4/5,3/5,25/12)