z^3=z的共轭,求z

Question

z^3=z的共轭,求z

Answer 1

设 z=a+bi （a、b为实数）,则 z 的共轭是 a-bi ；
已知,
(a+bi)^3 = a-bi ,
(a³-3ab²)+(3a²b-b³)i = a-bi ,
可得：
a³-3ab² = a ,3a²b-b³ = -b ,
a(a²-3b²-1) = 0 ,b(3a²-b²+1) = 0 ,
分情况讨论：
① a=0、b=0 ；则有：z = 0 ；
② a≠0、b=0 ；可得：a²-3b²-1 = a²-1 = 0 ,解得：a = ±1 ,则有：z = ±1 ；
③ a=0、b≠0 ；可得：3a²-b²+1 = -b²+1 = 0 ,解得：b = ±1 ；则有：z = ±i ；
④ a≠0、b≠0 ；可得：a²-3b²-1 = 0 ,3a²-b²+1 = 0 ,解得：a、b无实根；
综上可得：z = 0 或 ±1 或 ±i .