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求∫∫∫{√(x^2+y^2+z^2)}dxdydz,积分区域是由曲面x^2+y^2+z^2=2所围成的闭区域
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求∫∫∫{√(x^2+y^2+z^2)}dxdydz,积分区域是由曲面x^2+y^2+z^2=2所围成的闭区域
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答案和解析
用球坐标
∫∫∫√(x^2+y^2+z^2)dxdydz
=∫∫∫ r*r²sinφ drdφdθ
=∫[0--->2π] dθ∫[0---->π] sinφdφ∫[0--->√2] r³ dr
=2π(-cosφ)(1/4)r⁴ φ：[0---->π],r：[0--->√2]
=4π
∫∫∫√(x^2+y^2+z^2)dxdydz
=∫∫∫ r*r²sinφ drdφdθ
=∫[0--->2π] dθ∫[0---->π] sinφdφ∫[0--->√2] r³ dr
=2π(-cosφ)(1/4)r⁴ φ：[0---->π],r：[0--->√2]
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