求1/根号下（1+x^4）的不定积分,有根号的!

Question

求1/根号下（1+x^4）的不定积分,有根号的!

Answer 1

原函数不能表示为初等函数

1/√(1+x^4)
=(1+x^4)^(-1/2)
=1-(1/2)x^4+(-1/2)(-1/2-1)/2!·x^8+…+(-1/2)(-1/2-1)…(-1/2-n+1)/n!·x^(4n)+…
=1-1/2·x^4+1·3/(2^2·2!)·x^8+…+(-1)^n·1·3…(2n-1)/(2^n·n!)·x^(4n)+…
=1+∑(n:1→∞)(-1)^n·(2n-1)!/(2n)!·x^(4n),x∈(-1,1)

∫1/√(1+x^4)·dx
=x+∑(n:1→∞)(-1)^n·(2n-1)!/[(4n+1)·(2n)!]·x^(4n+1)+C
=∑(n:0→∞)(-1)^n·(2n-1)!/[(4n+1)·(2n)!]·x^(4n+1)+C,x∈(-1,1)

!表示双阶乘.设n为自然数
(2n+1)!=(2n+1)(2n-1)…5·3·1
(2n)!=(2n)(2n-2)…6·4·2
为便于计算,规定(-1)!=0!=1!=1