以下4道题答对3道以上得分要求详细过程(1)∮L(x^2+y^2)^nds其中L为圆周x=acosty=asint(0≤t≤2∏)(2)∮Lxds其中L为由直线y=x与抛物线y=x^2所围成的整个边界(3)1∫Г---------------dsx^2+y^2+

Question

以下4道题 答对3道以上得分 要求详细过程
(1) ∮L (x^2 + y^2)^n ds 其中L为圆周x=acost y=asint (0≤t≤2∏)
(2) ∮L x ds 其中L为由直线y=x 与抛物线y=x^2所围成的整个边界
(3) 1
∫Г --------------- ds
x^2 + y^2 + z^2
其中Г为曲线x=e^t*cost,y=e^t*sint,z=e^t 上对应t从0到2这段弧
(4) ∫L y^2 ds 其中L为摆线的一拱 x=a(t-sint) y=a(1-cost)(0≤t≤2∏)
问题补充：第三题
∫Г 1/(x^2 + y^2 + z^2) ds

Answer 1

（1）ds＝[（x'^2+y'^2）^(1/2)]dt=|a|dt
原式＝∫a^(2*n)|a|dt 上下限（2∏,0）
＝2∏|a|*a^(2*n)
（2）算出曲线交点（0,0）,（1,1）
A－>B上
ds＝√（1＋4x^2）dx
原式＝∫x√（1＋4x^2）dx 上下限（1,0）
＝125*√5/12－1/12＝M
B->A上
ds＝√2dx
原式＝∫x√2dx 上下限（0,1）
＝－ √2/2＝N
所以第二题为 M＋N
(4)ds=|a|√[（1-cost)^2+(sint)^2] =|a|√2√(1-cost)dt 原式=a^2|a|√2∫[(1-cost)^2√(1-cost)]dt 上下限(2∏,0) 1-cost=2[sin(t/2)]^2,代进去,后面的应该容易算了,我就不解了