设f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x(x∈R).（1）求g（x）的解析式（2）判断函数g（x）在[0,1]上的单调性并用定义证明（3）若方程g（x）-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围

Question

设f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x(x∈R).
（1）求g（x）的解析式
（2）判断函数g（x）在[0,1]上的单调性并用定义证明
（3）若方程g（x）-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围

Answer 1

(1) 令t=a+2 即f(t)=3^t=18 且 a=t-2
g(x)=3^ax-4^x
=3^(t-2)x-4^x
=(3^tx) / (3^2x)-4^x
=((3^t)^x) / (3^2x)-4^x
=18^x / 9^x-4^x
=2^x-4^x
所以g(x)=2^x-4^x
(2) 令t（x）=2^x,则 t(x)在[0,1]上单调递增,范围是[1,2]
g(x)=2^x-4^x=t（x）- (t（x）)^2 =t(x)*(1-t(x))
简化一下,g(t)=t-t^2 ,t∈[1,2]
这个是抛物线,开口向下,对称轴是直线 t=1/2
在 t∈[1,2] 区间是单调递减的,
综合t(x)在 X∈[[0,1]上单调递增,可以知道,
g(x)在X∈[[0,1] 上单调递减
（3） 直接利用（2）中 简化的结果,g(x)-b=t-t^2-b =-(t-1/2)^2-b+1/4
x∈[-2,2] 即t=2^x∈[1/4,4]有两个不同的解
故有：
-(1/4-1/2）^2-b+1/4