求∫㏑x/[(1+x^2)^3/2]

Question

求∫㏑x/[(1+x^2)^3/2]

Answer 1

先做一个积分：
∫ 1/(1+x²)^(3/2) dx
令x=tanu,则(1+x²)^(3/2)=sec³u,dx=sec²udu
=∫ (1/sec³u)sec²udu
=∫ cosu du
=sinu + C
=x/√(1+x²) + C
下面计算你给的积分
∫ lnx/(1+x²)^(3/2) dx
=∫ lnx d[x/√(1+x²)]
分部积分
=xlnx/√(1+x²) - ∫ [x/√(1+x²)](1/x) dx
=xlnx/√(1+x²) - ∫ 1/√(1+x²) dx
令x=tanu,则(1+x²)^(3/2)=sec³u,dx=sec²udu
=xlnx/√(1+x²) - ∫ (1/secu)sec²u du
=xlnx/√(1+x²) - ∫ secu du
=xlnx/√(1+x²) - ln|secu+tanu| + C
=xlnx/√(1+x²) - ln[√(1+x²)+x] + C
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