已知x,y,z的绝对值都小于1,求证：（1）（x+y）/(1+xy)的绝对值小于1（2）（x+y+z+xyz）/(1+xy+xz+yz)的绝对值小于1

Question

已知x,y,z的绝对值都小于1,求证：（1）（x+y）/(1+xy)的绝对值小于1
（2）（x+y+z+xyz）/(1+xy+xz+yz)的绝对值小于1

Answer 1

解（1）用分析法：｜x+y｜∕|1+xy|＜1 ＜=＞ （x＋y）2／（1＋xy）2＜1＜≈＞x2＋2xy＋y2＜1＋2xy＋x2y2 ＜＝＞ x2-x2y2＋y2-1＜0 ＜＝＞ x2（1－y2）－（1－y2）＜0 ＜≈＞ （1-x2）（1－y2）＞0,∵｜x｜＜1,｜y｜＜1∴x2＜1,即1－x2＞0,y2＜1,即1-y2＞0,也就是（1－x2）（1－y2）＞0,所以｜x＋y｜∕｜1+xy｜＜1
(2)用分析法：｜x+y+z+xyz｜∕｜1+xy+yz+xz｜＜1 ＜＝＞ （x＋y＋z＋xyz）2－（1＋xy＋xz＋yz）2＜0 ＜＝＞ （x＋y＋z＋xyz－1-xy-xz-yz）（x＋y＋z＋xyz＋1＋xy＋xz＋yz）＜0 ＜＝＞ （1－y）（1－z）（x－1）（1＋x）（1＋y）（1＋z）＜0 即（1-y2）（1-z2）（x2-1）＜0,∵｜x｜＜1∴x2－1＜0,同理1－y2＞0,1-z2＞0,∴（1-y2）（1-z2）（x2-1）＜0,故｜x＋y＋z＋xyz｜∕｜1＋xy＋xz＋yz｜＜1