如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若ABBC=EFBF=2，求ANND的值．

Question

如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．

（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若(AB)/(BC)=(EF)/(BF)=2，求(AN)/(ND)的值．

Answer 1

（1）当F为BE中点时，如图1，

则有BF=EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．
在△BMF和△ECF中，
∵

∠MBF=∠CEF

∠BMF=∠ECF

BF=EF

，
∴△BMF≌△ECF，
∴BM=EC．
∵E为CD的中点，
∴EC=(1)/(2)DC，
∴BM=EC=(1)/(2)DC=(1)/(2)AB，
∴AM=BM=EC；

（2）如图2所示：设MB=a，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，
∴△ECF∽△BMF，
∴(EC)/(BM)=(EF)/(BF)=2，
∴EC=2a，
∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB-MB=3a．
∵(AB)/(BC)=2，
∴BC=AD=2a．
∵MN⊥MC，
∴∠CMN=90°，
∴∠AMN+∠BMC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ANM+∠AMN=90°，
∴∠BMC=∠ANM，
∴△AMN∽△BCM，
∴(AN)/(BM)=(AM)/(BC)，
∴(AN)/(a)=(3a)/(2a)，
∴AN=(3)/(2)a，ND=AD-AN=2a-(3)/(2)a=(1)/(2)a，
∴(AN)/(ND)=((3)/(2)a)/((1)/(2)a)=3．