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如图,MN是O的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为.
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如图,MN是 O的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为___.


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答案和解析
过A作关于直线MN的对称点A′,连接A′B,由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值,
连接OB,OA′,AA′,
∵AA′关于直线MN对称,
∴
=
,
∵∠AMN=40°,
∴∠A′ON=80°,∠BON=40°,
∴∠A′OB=120°,
过O作OQ⊥A′B于Q,
在Rt△A′OQ中,OA′=2,
∴A′B=2A′Q=2
,
即PA+PB的最小值2
.
故答案为:2
.

连接OB,OA′,AA′,
∵AA′关于直线MN对称,
∴
![]() |
AN |
![]() |
A′N |
∵∠AMN=40°,
∴∠A′ON=80°,∠BON=40°,
∴∠A′OB=120°,
过O作OQ⊥A′B于Q,
在Rt△A′OQ中,OA′=2,
∴A′B=2A′Q=2
3 |
即PA+PB的最小值2
3 |
故答案为:2
3 |
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