方程组x^2+xy+xz=10,yz+y^2=15的整数解组数为-----

Question

方程组x^2+xy+xz=10,yz+y^2=15的整数解组数为-----

Answer 1

由题知：x(x+y+z)=10; y(y+z)=15.由于x,y,z均为正数
所以：
①x=(1,2,5,10)或-(1,2,5,10)
②x+y+z=(1,2,5,10)或-(1,2,5,10)
③y=(1,3,5,15)或-(1,3,5,15)
④y+z=(1,3,5,15)或-(1,3,5,15).
⑤x(x+y+z)=10
⑥y(y+z)=15
可知,对于x=1则y+z=9；x=-1则y+z=-11,排除；对于x=10则y+z=0,排除；x=-10则y+z=9,排除；对于x=5则y+z=-3,不能排除；对于x=2则y+z=3；x=-2则y+z=-3；不能排除；x=-5则y+z=3,不能排除；
考虑x=2则y+z=3,对于y=1则z=2,不满足⑥,排除；对于y=3则z=0,不满足⑥,排除；y=5则z=-2,满足,这是一个解；y=15则z=-12,不满足⑥,排除；
考虑x=-2则y+z=-3,对于y=1则z=-4,不满足⑥,排除；对于y=3则z=-6,不满足⑥排除；y=5则z=-8,不满足⑥,排除；y=15则z=-18,不满足⑥,排除；y=-5则z=2,满足；
考虑x=-5则y+z=3,对于y=1则z=2,不满足⑥,排除；对于y=3则z=0,不满足⑥排除；y=5则z=-2,满足；y=15则z=-18,不满足⑥,排除；
依此,共得四组.