已知实数x,y,z满足x+y+z=5,xy+xz+yz=3,试求z的最大值.不耻下问，为什么x^2+y^2=2xy时,z^2有最大值呢？

Question

已知实数x,y,z满足x+y+z=5,xy+xz+yz=3,试求z的最大值.
不耻下问，为什么x^2+y^2=2xy时,z^2有最大值呢？

Answer 1

实数x,y,z 满足 x+y+z=5, xy+yz+zx=3 ,则z的最大值是：13/3

∵xy+yz+zx=3,x+y+z=5
∴x+y=5-z
∴2xy=6-2(y+x)z=6-2(5-z)z=2z^2-10z+6
∴2*(xy+yz+zx)=6
∵x+y+z=5
∴（x+y+z）^2=25
x^2+y^2+z^2+2*(xy+xz+yz)=25
x^2+y^2+z^2=19
∵（x-y）^2≥0,
x^2+y^2-2xy≥0,
x^2+y^2≥2xy,
∴x^2+y^2=2xy时,z^2有最大值,
∴z^2+2xy=19,
∴z^2+2z^2-10z+6=19,
3z^2-10z-13=0
z^2-10z/3-13/3=0
（z-5/3）^2-(8/3)^2=0
(z-13/3)*(z+1)=0
z1=13/3
z2=-1
z1>z2
故z的最大值=13/3
答：实数x,y,z 满足 x+y+z=5, xy+yz+zx=3 ,则z的最大值是13/3