函数f：R→R,对任意x,y∈R,f[xf（y）]=xy成立,则f（2009）=?

Question

函数f：R→R,对任意x,y∈R,f[xf（y）]=xy成立,则f（2009）=?

Answer 1

设f(1)=t,
令x=1,y=1,有f(t)=1
在令x=t,y=t,有f(t)=t^2,则t^2=1
t=±1
(1)当t=1,即f(1)=1时,令y=1,有f(x)=x
f(2009)=2009
(2)当t=-1,即f(1)=-1,f(-1)=1时,
令y=-1,有f(x)=-x
f(2009)=-2009
综上f(2009)=±2009