求最值z=x^2+xy-y^2,{(x,y)||x|+|y|

Question

求最值 z=x^2+xy-y^2,{(x,y)||x|+|y|

Answer 1

z=x^2+xy-y^2
求偏导：
zx=2x+y
zy=x-2y
由zx=0,zy=0,解出驻点(0,0)
因为只要求最值,故只需要比较驻点与边界点的函数值即可
f(0,0)=0
在边界点的函数值最值：
最大值：首先要x^2-y^2尽量大,而且要xy≥0,不难得到max=f(±1,0)=1
最小值：首先要x^2-y^2尽量小,而且要xy≤0,不难得到min=f(0,±1)=-1
（或者把四个方向代进原函数来求最值）
再比较三者的大小关系
立即有：
fmax=1,fmin=-1
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