设A=（α1，α2，…，αr）是n×r矩阵，B=（β1，β2，…，βs）是n×s矩阵，rank（A）=r，rank（B）=s，证明若r+s＞n，则必存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α2，…，αr线性表示，又可由β1，β2，…

Question

设A=（α₁，α₂，…，α_r）是n×r矩阵，B=（β₁，β₂，…，β_s）是n×s矩阵，rank（A）=r，rank（B）=s，证明若r+s＞n，则必存在非零向量ξ，使得ξ既可由α₁，α₂，…，α_r线性表示，又可由β₁，β₂，…，β_s线性表示．

Answer 1

证明：由题意，设子空间
W₁=L（α₁，α₂，…，α_r），W₂=L（β₁，β₂，…，β_s）
则，由rank（A）=r，rank（B）=s，知
dim（W₁）=r，dim（W₂）=s，且dim（W₁）+dim（W₂）＞n
∴dim（W₁∩W₂）=dim（W₁）+dim（W₂）-dim（W₁+W₂）=r+s-n＞0
∴存在非零向量ξ∈W₁∩W₂
即存在非零向量ξ，使得ξ既可由α₁，α₂，…，α_r线性表示，又可由β₁，β₂，…，β_s线性表示．