如图，已知正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP．（1）若正方形边长为4，求AP的长；（2）求证：∠DAQ=45°-12∠BAP．

Question

如图，已知正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP．

（1）若正方形边长为4，求AP的长；
（2）求证：∠DAQ=45°-(1)/(2)∠BAP．

Answer 1

（1）∵正方形ABCD中，DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP，
∴设PC=x，则BP=4-x，AP=4+x，
在Rt△ABP中，
∵AB ²+BP ²=AP ²，
∴4 ²+（4-x）²=（4+x）²，
解得：x=1，
则BP=3，
AP=4+1=5；
（2）证明：延长AQ交BC的延长线于M，
在△ADQ和△MCQ中，
∵

∠DQA＝∠CQM

DQ＝CQ

∠D＝∠MCQ

，
∴△ADQ≌△MCQ（ASA），
∴AD=CM，∠DAM=∠AMP，
∵AP=CD+CP，
∴AP=PM，
∴∠PAM=∠AMP，
∴∠DAM=∠PAM，
∵∠DAP=90°-∠BAP，
∴2∠DAQ=90°-∠BAP，
∴∠DAQ=45°-(1)/(2)∠BAP．