已知a，b∈R，且ex≥a（x-1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A.12e3B.22e3C.32e3D.e3

Question

已知a，b∈R，且e^x≥a（x-1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（　　）

A.

(1)/(2)e3

B.

(√(2))/(2)e3

C.

(√(3))/(2)e3

D. e³

Answer 1

令f（x）=e^x-a（x-1）-b，则f′（x）=e^x-a，
若a=0，则f（x）=e^x-b≥-b≥0，得b≤0，此时ab=0；
若a<0，则f′（x）>0，函数单调增，x→-∞，此时f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a>0，由f′（x）=e^x-a=0，得极小值点x=lna，
由f（lna）=a-alna+a-b≥0，得b≤a（2-lna），
ab≤a²（2-lna）．
令g（a）=a²（2-lna）．
则g′（a）=2a（2-lna）-a=a（3-2lna）=0，得极大值点a=e(3)/(2)．
而g（e(3)/(2)）=(1)/(2)e3．
∴ab的最大值是(1)/(2)e3．
故选：A．