已知函数f（x）=lnxx-a（a∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；（Ⅲ）设若函数f（x）有两个零点为m，n，求证：mn>e2．

Question

已知函数f（x）=(lnx)/(x)-a（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设若函数f（x）有两个零点为m，n，求证：mn>e²．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
因为f（x）=(lnx)/(x)-a，所以f′（x）=(1-lnx)/(x2)，…（2分）
所以，当0<x<e时，f′（x）>0，所以f（x）在（0，e）上单调递增；
当x>e时，f′（x）<0，所以f（x）在（e，+∞）上单调递减．…（3分）
所以f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）令g（x）=(lnx)/(x)，则函数f（x）有两个零点，等价于方程g（x）=a有两个根，
等价于函数y=f（x）的图象与直线y=a有两个交点．…（5分）
因为g′（x）=f′（x）=(1-lnx)/(x2)，所以，由（Ⅰ）知g（x）在x=e时取得最大值，最大值为(1)/(e)，
当x→0时，g（x）→-∞；当x→+∞时，g（x）→0，所以0<a<(1)/(e)．…（8分）
（Ⅲ）证明：不妨设m>n，由题意得lnm=am，lnn=an，
两式相减得lnm-lnn=a（m-n），所以a=(lnm-lnn)/(m-n)，…（10分）
所以（m-n）（a-(2)/(m+n)）=（m-n）（(lnm-lnn)/(m-n)-(2)/(m+n)）=ln(m)/(n)-(2((m)/(n)-1))/((m)/(n)+1)，…（12分）
令h（x）=lnx+(2(x-1))/(x+1)，当x>1时，h（x）>0，
所以a>(2)/(m+n)，即(lnm+lnn)/(m+n)>(2)/(m+n)，
整理为lnm+lnn>2，故mn>e²．…（14分）