若f（x）=ex+ae-x为偶函数，则f（x-1）<e2+1e的解集为．

Question

若f（x）=e^x+ae^-x为偶函数，则f（x-1）< (e2+1)/(e)的解集为___．

Answer 1

∵f（x）=e^x+ae^-x为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即e^-x+ae^x=e^x+ae^-x，则a=1，
即f（x）=e^x+e^-x，
由f（x-1）<(e2+1)/(e)得e^x-1+e^-（x-1）<(e2+1)/(e)=e+e^-1，即f（x-1）<f（1），
即f（|x-1|）<f（1），
又当x≥0时，f′（x）=e^x-e^-x=(e2x-1)/(ex)>0，
即函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，
则|x-1|<1，即-1<x-1<1，解得0<x<2，
所以不等式的解集为（0，2），
故答案为：（0，2）