如图所示，竖直直角坐标系，第一象限有水平向左的匀强电场E1，第四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，且直线Y=-L下方处有竖直向下的匀强电场E2．质量为m的小球自A（0，L2）处以v0的初速

Question

如图所示，竖直直角坐标系，第一象限有水平向左的匀强电场E₁，第四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，且直线Y=-L下方处有竖直向下的匀强电场E₂．质量为m的小球自A（0，(L)/(2)）处以v₀的初速度水平抛出，小球到达B（L，0）处是速度方向恰好与x轴垂直．在B处有一内表面粗糙的圆筒，筒内壁与小球间的动摩擦因数为μ，筒直径略大于小球直径，筒长为L，竖直放置．已知小球在离开筒以前就已经匀速，且离开筒后做匀速圆周运动，恰在D（0，-2L）处水平进入第三象限．求：
（1）E₁：E₂是多少？
（2）在圆筒内摩擦力做功是多少？（B_O未知）

Answer 1

（1）在第一象限，水平方向小球做匀减速运动，
加速度大小为：a=(qE1)/(m)，
由运动学公式得：L=(1)/(2)at²
竖直方向做自由落体运动，有：(L)/(2)=(1)/(2)gt²
由①②得，a=2g，
由牛顿第二定律可知，qE₁=2mg    
小球在第四象限的电磁场中做匀速圆周运动，
应有电场力与重力平衡，即：qE₂=mg         
故：E₁：E₂=2：1．
（2）设小球进入圆筒时的速度为v₁，在第一象限，由运动规律有：
竖直方向：(L)/(2)=(v1)/(2)t            
水平方向：L=(v0)/(2)t     
解得：v₁=(v0)/(2)，
小球在圆筒中做加速度减小的加速运动，
当重力与摩擦力相等时，开始做匀速运动，
设此速度为v₂，由平衡条件，有：mg=μBqv₂
解得：v₂=(mg)/(μBq)      
在第四象限的电磁场中做匀速圆周运动时，
洛伦兹力提供向心力，有：Bqv₂=m(V22)/(L)，
解得，v₂=√((gL)/(μ))，
从小球进入圆筒到离开圆筒，
由动能定理，有：mgL+W_f=(1)/(2)mv

2

2

-(1)/(2)mv

2

1

  
解之得：W_f=-[mgL（1-(1)/(2μ)）+(1)/(8)mv

2

0

]；
答：（1）E₁：E₂是2：1；
（2）在圆筒内摩擦力做功是：-[mgL（1-(1)/(2μ)）+(1)/(8)mv

2

0

]．