已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2-c2a2+c2-b2=2sinA-sinCsinC，且b=4．（1）求角B；（2）求△ABC的面积的最大值．

Question

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2+b2-c2)/(a2+c2-b2)=(2sinA-sinC)/(sinC)，且b=4．
（1）求角B；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（1）∵(a2+b2-c2)/(a2+c2-b2)=(2sinA-sinC)/(sinC)，且b=4．
∴(a2+16-c2)/(a2+c2-16)=(2a-c)/(c)，化为：a²+c²-16=ac．
∴cosB=(a2+c2-42)/(2ac)=(ac)/(2ac)=(1)/(2)．
又B∈（0，π），解得B=(π)/(3)．
（2）由（1）可得：ac=a²+c²-16≥2ac-16，解得ac≤16．当且仅当a=c=4时取等号．
∴S_△ABC=(1)/(2)acsinB≤(1)/(2)×16×(√(3))/(2)=4√(3)，
∴△ABC的面积的最大值为4√(3)．