函数f（x）=2x，对于20个数：a1，a2，…，a10；b1，b2，…，b10∈[0，1]，且满足：10i＝1f2(ai)＝10i＝1f2(bi)，则10i＝1f(ai)•f(bi)10i＝1f2(ai)的最小值是（）A．25B．45C．65D．1

Question

函数f（x）=2^x，对于20个数：a₁，a₂，…，a₁₀；b₁，b₂，…，b₁₀∈[0，1]，且满足：

10

i＝1

f2(ai)＝

10

i＝1

f2(bi)，则(10i＝1f(ai)•f(bi))/(10i＝1f2(ai))的最小值是（　　）

A．(2)/(5)
B．(4)/(5)
C．(6)/(5)
D．1

Answer 1

先考虑两个数的情况：
m₁=2^a₁，m₂=2^a₂，n₁=2^b₁，n₂=2^b₂，
由题意得，m₁²+m₂²=n₁²+n₂²=r²．
m₁，m₂，n₁，n₂∈[1，2]，
设

x1

=（m₁，m₂），

x2

=（n₁，n₂），
则(f(a1)f(b1)+f(a2)f(b2))/(f2(a1)+f2(a2))=(m1n1+m2n2)/(m12+m22)，
=(x1•x2)/(|x1|•|x2|)=cos＜

x1

，

x2

＞，
当取

x1

=（1，2），

x2

=（2，1），
((1，2)•(2，1))/(12+22)=(4)/(5)≤cos＜

x1

，

x2

＞≤1．
推广：当

x1

=（1，1，2，2），

x2

=（2，2，1，1），
即有(2+2+2+2)/(12+12+22+22)=(4)/(5)≤cos＜

x1

，

x2

＞≤1．
…
当

x1

=（1，1，1，1，1，2，2，2，2，2），

x2

=（2，2，2，2，2，1，1，1，1，1），
即有(2+2+…+2)/(12+12+…+22)=(4)/(5)≤cos＜

x1

，

x2

＞≤1．
则所求的最小值为(4)/(5)．
故选B．