设Sn，Tn分别是数列{an}和{bn}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3an=2Sn+3，数列{bn}是等差数列，且T5=25，b10=19．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbnn(n+1)，求数列{cn}的前n项和Rn

Question

设S_n，T_n分别是数列{a_n}和{b_n}的前n项和，已知对于任意n∈N^*，都有3a_n=2S_n+3，数列{b_n}是等差数列，且T₅=25，b₁₀=19．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=(anbn)/(n(n+1))，求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

（I）∵3a_n=2S_n+3，∴n≥2时，3a_n-1=2S_n-1+3，
相减可得：3a_n-3a_n-1=2a_n，化为：a_n=3a_n-1，
n=1时，可得3a₁=2a₁+3，解得a₁=3．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为3．
∴a_n=3ⁿ．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵T₅=25，b₁₀=19．
∴5b₁+(5×4)/(2)×d=25，b₁+9d=19，
联立解得：b₁=1，d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）c_n=(anbn)/(n(n+1))=(3n(2n-1))/(n(n+1))=(3n[3n-(n+1)])/(n(n+1))=(3n+1)/(n+1)-(3n)/(n)，
∴数列{c_n}的前n项和R_n=((32)/(2)-(3)/(1))+((33)/(3)-(32)/(2))+…+((3n+1)/(n+1)-(3n)/(n))=(3n+1)/(n+1)-3．