高中数学问题,求解答F（X）是以T为周期的函数,则函数F(x)+F(2x)+F(3x)+F(4x)的周期是?这题我知道这几个相加的数的周期分别是T,T/2,T/3,T/4,可为什么他们最后的答案是T而不是T/4,不要和我说什么公

Question

高中数学问题,求解答
F（X）是以T为周期的函数,则函数F(x)+F(2x)+F(3x)+F(4x)的周期是?
这题我知道这几个相加的数的周期分别是T,T/2,T/3,T/4,可为什么他们最后的答案是T而不是
T/4,不要和我说什么公倍数什么的,这么去想我仍然没理解.换一种方法说下,这个该怎么去想?

Answer 1

F(x)是以T为周期的函数,
——》F(x+kT)=F(x),k∈Z
——》F(2x)=F(2x+kT)=F[2(x+k*T/2)],
F(3x)=F(3x+kT)=F[3(x+k*T/3)],
F(4x)=F(4x+kT)=F[4(x+k*T/4)],
即F(2x)、F(3x)、F(4x)的周期分别为T/2、T/3、T/4,
G(x)=F(x)+F(2x)+F(3x)+F(4x),
——》G(x+kT)=F(x+kT)+F[2(x+kT)]+F[3(x+kT)+F[4(x+kT)]
=F(x+T)+F(2x+2kT)+F(3x+3kT)+F(4x+4kT)
=F(x)+F(2x)+F(3x)+F(4x)
=G(x),
即G(x)的周期为T,
而G(x+T/4)=F(x+T/4)+F[2(x+T/4)]+F[3(x+T/4)+F[4(x+T/4)]
=F(x+T/4)+F(2x+T/2)+F(3x+3T/4)+F(4x+T)
≠F(x)+F(2x)+F(3x)+F(4x)=G(x),
即T/4不是G(x)的周期.