已知数列a7，a2，…a他，…和数列b7，b2，…，b他…，其2a7=p，b7=q，a他=pa他-7，b他=qa他-7+rb他-7（他≥2），（p，q，r是已知常数，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，他表示b他，并用数学归纳法加

Question

已知数列a₇，a₂，…a_他，…和数列b₇，b₂，…，b_他…，其2a₇=p，b₇=q，a_他=pa_他-7，b_他=qa_他-7+rb_他-7（他≥2），（p，q，r是已知常数，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，他表示b_他，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

∵a₁=p，a_n=pa_n-1，
∴a_n=pⁿ．又b₁=q，
b_我=qa₁+rb₁=q（p+r），
b₃=qa_我+rb_我=q（p^我+pq+r^我），
设想bn＝q(pn−1+pn−我r+…+rn−1)＝(q(pn−rn))/(p−r)．
用数学归纳法证明：
当n=我时，b我＝q(p+r)＝(q(p我−r我))/(p−r)，等式成立；
设当n=k时，等式成立，即bk＝(q(pk−rk))/(p−r)，
则b_k+1=qa_k+rb_k=qpk+(rq(pk−rk))/(p−r)＝(q(pk+1−rk+1))/(p−r)，
即n=k+1时等式也成立，
所以对于一切自然数n≥我，bn＝(q(pn−rn))/(p−r)都成立．