已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S13=91，等比数列{bn}中首项b1=3，公比q=2，且a3是-42和b5的等差中项．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设cn=2an+（-1）nan，求数列{cn}的前2n项和T2n．

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁₃=91，等比数列{b_n}中首项b₁=3，公比q=2，且a₃是-42和b₅的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=2 an+（-1）ⁿa_n，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

（I）∵等比数列{b_n}中首项b₁=3，公比q=2，∴bn=3×2n-1．
∴b₅=3×2⁴=48．
∵a₃是-42和b₅的等差中项．
∴2a₃=-42+b₅=-42+48，
解得a₃=3．
设等差数列{a_n}的公差为d，又S₁₃=91，
∴

13a1+(13×12)/(2)d=91

a1+2d=3

，
解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）c_n=2 an+（-1）ⁿa_n，=2ⁿ+（-1）ⁿn．
∴数列{c_n}的前2n项和T_2n=(2(22n-1))/(2-1)+[（-1+2）+（-3+4）+…+（1-2n+2n）]
=2²ⁿ⁺¹-2+n．