设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.求数列{bn分之an}的前n

Question

设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.求数列{bn分之an}的前n

Answer 1

设等差数列的公差为d 等比数列的公比为q
由题意得
a3+b5=21
1+2d+q^4=21.（1）
a5+b3=13
1+4d+q^2=13.（2）
（1）*2-（2） 得
2q^4-q^2-28=0
(2q^2+7)(q^2-4 )=0
因为2q^2+7>0
所以q^2=4
又由题意,知{bn}各项为正,
所以q=2
将q=2代入2式得
d=2
所以an=2n-1
bn=2^(n-1)
an/bn=(2n-1)/2^(n-1) 叠加
a1/b1=1
a2/b2=3/2
……
sn=1+3/2+5/4+7/8+……(2n-1)/2^(n-1).(1)
2sn=2+3+……+(2n-1)/2^(n-2).（2)
(2)-(1),得
sn=6-(4n+6)/(2^n)