已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，n∈N*，求Tn（n∈N*，n≥2）

Question

已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N^*，求T_n（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程组

2+3d+2q3＝27

8+6d−2q3＝10

，
解得

d＝3

q＝2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
则T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②
由①-②得，-T_n=2×2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=4+3×(4(1−2n−1))/(1−2)-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
所以T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．