已知数列a1，a2，a3，……，a15，其中a1，a2，a3，……，a5是首项为1，公差为1的等差数列；a5，a6，a7，……，a10是公差为d(d≠0)的等差数列，a10，a11，……，a15是公差为d2的等差数列．(1)

Question

已知数列a₁，a₂，a₃，……，a₁₅，其中a₁，a₂，a₃，……，a₅是首项为1，公差为1的等差数列；a₅，a₆，a₇，……，a₁₀是公差为d(d≠0)的等差数列，a₁₀，a₁₁，……，a₁₅是公差为d²的等差数列．

(1)如果a₁₀＝20，求d；

(2)写出a₁₅关于d的关系式，并求a₁₅的取值范围；

(3)续写已知数列，使得a₁₅，a₁₆，……，a₂₀是公差为d³的等差数列，……依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

　　(1)a₁₀＝5＋5d＝20，d＝3

　　(2)a₁₅＝5＋5d＋5d²＝5(d＋)²＋，a₁₅≥且不等于5，

　　(3)推广为：已知数列a₁，a₂，a₃，……，a₁₅，a₆，a₇，……，a₁₀a₁₁，……，a₁₅……a_5n－5，a_5n－4，a_5n－3，……，a_5n……其中a₁，a₂，a₃，……，a₅是首项为1，公差为1的等差数列；a₅，a₆，a₇，……，a₁₀是公差为d(d≠0)的等差数列，a₁₀，a₁₁，……，a₁₅是公差为d²的等差数列，……a_5n－5，a_5n－4，a_5n－3，……，a_5n是公差为d^n－1的等差数列……．写出a_5n的关系式，并求a_5n的取值范围．

　　a_5n＝5＋5d＋5d²＋5d³＋…＋5d^n－1

　　当d＞0时f(d)＝5＋5d＋5d²＋5d³＋…＋5d^n－1显然为增函数．

　　当d＜0时，a_5n＝

　　令f(d)＝，

　　则f'(d)＝

　　当n为正偶数时，

　　f'(d)＝＞0，

　　当n为正奇数且n＞3时，

　　f'(d)＝，

　　f'(－)＜0，f′(－)＞0，设f'(d₀)＝0的根为d₀，则－＜d₀＜－

　　∴f(d)的单调减区间为(－∞，d₀)，单调增区间为(d₀，＋∞)

　　a_5n的取值范围是[，＋∞]且不等于5