.在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又2是a3与a5的等比中项．设bn=5-log2an．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）已知数列{bn}的前n项和为Sn，Tn＝1S1+1S2+…+1Sn，

Question

.在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又2是a₃与a₅的等比中项．设b_n=5-log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}的前n项和为S_n，Tn＝(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)，求T_n．

Answer 1

（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
又2为a₃与a₅的等比中项，∴a₃a₅=4．
而q∈（0，1），∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q＝(1)/(2)，a1＝16，
∴通项公式 an＝16×((1)/(2))n−1＝25−n，b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴Sn＝(n(n+1))/(2)．
（2）(1)/(S)n＝(2)/(n(n+1))＝2((1)/(n)−(1)/(n+1))，
∴Tn＝(1)/(S1)+(1)/(S2)+…+(1)/(Sn)＝2[(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))+…+((1)/(n)−(1)/(n+1))]=2(1−(1)/(n+1))＝(2n)/(n+1)．