如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，cc1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4．（1）证明AF⊥平面A1ED；（2）求平面A1ED与平面FED所成的角的余弦值．

Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，cc₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4．
（1）证明AF⊥平面A₁ED；
（2）求平面A₁ED与平面FED所成的角的余弦值．

Answer 1

证明：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=1，依题意得
D（0，2，0），F（1，2，0），A₁（0，0，4），E（1，(3)/(2)，0）
（1）易知

AF

=（1，2，1），

EA1

=（-1，-(3)/(2)，4），

ED

=（-1，(1)/(2)，0），
于是

AF

•

EA1

=0，

AF

•

ED

=0，因此AF⊥A₁E，AF⊥ED，又A₁E∩ED=E，
所以AF⊥平面A₁ED．
（2）设平面EFD的法向量

作业帮用户 2016-11-27 举报

举报该用户的提问

举报类型（必填）

• 色情低俗

• 辱骂攻击

• 侮辱英烈

• 垃圾广告

• 不良流行文化

• 骗取采纳

• 其他

举报理由（必填）

0/100

提交

问题解析

（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=1，分别求出AF，ED，A₁E的方向向量，根据数量积为0，两向量垂直可判断出AF与ED，A₁E均垂直，结合线面垂直的判定定理即可得到AF⊥平面A₁ED；
（2）分别求出平面A₁ED的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夹角公式即可求出二面角A₁-ED-F的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系．

考点点评：

本题考查的知识点是用空间向量求直线间的夹角、距离，直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将空间线、面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议