已知抛物线已知AB是抛物线y^2=2px(p＞0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB被焦点F分成长为m,n的两部分,求证：1/m+1/n=2/p

Question

已知抛物线
已知AB是抛物线y^2 =2px (p＞0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB被焦点F分成长为m,n的两部分,求证：1/m+1/n=2/p

Answer 1

要用到焦半径公式 |FA|=x1+P/2
以及焦点弦的另一性质 x1x2=P^2/4
证明：设AB方程为x=ky+P/2
与抛物线方程y^2=2Px联立得
y^2-2kPy-P^2=0
得y1y2=-P^2
y1^2*y2^2=P^4=2Px1*2Px2=4P^2*x1x2
得x1x2=P^2/4
1/|FA|+1/|FB|=1/m+1/n=
=1/(x1+P/2)+1/(x2+P/2)
=(x1+x2+P)/(x1+P/2)(x2+P/2)
=(x1+x2+P)/[x1x2+(x1+x2)P/2+p^2/4]
=(x1+x2+P)/[P^2/2+(x1+x2)P/2]=2/P
这也是焦点弦的性质之一 要记住结论