已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1，若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

x∈[2，∞），f（x）≥0，即x³+3ax²+3x+1≥0，即x+(3)/(x)+(1)/(x2)≥-3a．
令g（x）=x+(3)/(x)+(1)/(x2)，则g'（x）=1-(3)/(x2)-(2)/(x3)=(x3−3x−2)/(x3)，
下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立．
令h（x）=x³-3x-2，则h'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，
∴g（x）的最小值为g（2）=(15)/(4)，
-3a≤g（2）=(15)/(4)，
解得a≥-(5)/(4)．