设X1、X2、X3、X4是来自正态总体N（0.22）的简单随机样本，X=a（X1-2X2）2+B（3X3-4X4）2，则当a=，b=时，统计量X服从χ2分布，其自由度为．

Question

设X₁、X₂、X₃、X₄是来自正态总体N（0.2²）的简单随机样本，X=a（X₁-2X₂）²+B（3X₃-4X₄）²，则当a= ___ ，b= ___ 时，统计量X服从χ²分布，其自由度为 ___ ．

Answer 1

由于X服从卡方分布，则n=2，且
√(a)(X1-2X2)～N（0，1），√(b)(3X3-4X4)～N（0，1）
于是
E（X₁-2X₂）=EX₁-2EX₂=0
D（X₁-2X₂）=DX₁+4DX₂=20
E（3X₃-4X₄）=0
D（3X₃-4X₄）=9EX₃+16EX₄=100
于是：
(X1-2X2)/(√(20))～N（0，1），(3X3-4X4)/(10)～N（0，1），且相互独立，
由卡方分布构成知
X=((X1-2X2)2)/(20)+((3X3-4X4)2)/(100)～X²（2）
所以当a=(1)/(20)，b=(1)/(100)，卡方分布自由度为：2