已知：关于x的一元二次方程ax2-2（a-1）x+a-2=0（a>0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1>x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2+x1，求这

Question

已知：关于x的一元二次方程ax²-2（a-1）x+a-2=0（a>0）．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁>x₂）．若y是关于a的函数，且y=ax₂+x₁，求这个函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y≤-3a²+1，则自变量a的取值范围为___．

Answer 1

（1）证明：∵△=[-2（a-1）]²-4a（a-2）=4．
∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2） x=(2(a-1)±2)/(2a)=(a-1±1)/(a)
∵a>0，x₁>x₂，
∴x₁=1，x₂=1-(2)/(a)，
∴y=ax₂+x₁=a-1，
即这个函数的表达式为y=a-1（a>0）；
（3） 如图，
解方程组

y=a-1

y=-3a2+1

得

a=-1

y=-2

或

a=(2)/(3)

y=-(1)/(3)

，
即抛物线y=-3a2+1与直线y=a-1的两个交点坐标为（-1，-2）、（(2)/(3)，-(1)/(3)），
当y≤-3a²+1时，0<a≤(2)/(3)．
故答案为0<a≤(2)/(3)．