已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：（1）对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2；（2）f（1）=3（3）若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2．（I）求f（0）的值；（II

Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：
（1）对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2；
（2）f（1）=3
（3）若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（ I）求f（0）的值；
（ II）求f（x）的最大值；
（ III）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足Sn＝−(1)/(2)(an−3)，n∈N*．求证：f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)≤(3)/(2)+2n−(1)/(2×3n−1)．

Answer 1

（I）令x₁=x₂=0，由f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，则f（0）≥2f（0）-2，∴f（0）≤2．
由对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥2，∴f（0）≥2，故f（0）=2；
（II）对任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，则0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥2，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2≥f（x₁），
∴f_max（x）=f（1）=3；
（III）∵Sn＝−(1)/(2)(an−3)(n∈N*)①，
∴Sn−1＝−(1)/(2)(an−1−3)(n≥2)②，
①-②得：an＝(1)/(3)an−1(n≥2)，
由Sn＝−(1)/(2)(an−3)，得：a1＝−(1)/(2)(a1−3)，解得a₁=1．
∵a₁=1≠0，∴(an)/(an−1)＝(1)/(3)（n≥2），
∴an＝a1qn−1＝(1)/(3n−1)．
∴f(an)＝f((1)/(3n−1))＝f((1)/(3n)+(1)/(3n)+(1)/(3n))≥f((2)/(3n))+f((1)/(3n))−2≥3f((1)/(3n))−4
∴f((1)/(3n))≤(1)/(3)f((1)/(3n−1))+(4)/(3)，即f(an+1)≤(1)/(3)f(an)+(4)/(3)．
所以f(an)≤(1)/(3)f(an−1)+(4)/(3)≤(1)/(3)[(1)/(3)f(an−2)+(4)/(3)]+(4)/(3)
≤…≤(1)/(3n−1)f(a1)+(4)/(3n−1)+(4)/(3n−2)+…+(4)/(3)
=(1)/(3n−1)f(1)+(4)/(3n−1)+(4)/(3n−2)+…+(4)/(3)
=(3)/(3n−1)+4×((1)/(3)(1−(1)/(3n−1)))/(1−(1)/(3))=(1)/(3n−1)+2．
故f(an)≤2+(1)/(3n−1)
∴f(a1)+f(a2)+…+f(an)≤2n+(1−((1)/(3))n)/(1−(1)/(3))=2n+(3)/(2)−(1)/(2×3n−1)．
即原不等式式成立．