已知函数f(x)=x^2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1(1-2ln2)/4

Question

已知函数f(x)=x^2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x11.求a的取值范围和f（x）的单调性2.证明：f(2)>(1-2ln2)/4

Answer 1

①定义域为(-1,+∞)
f'(x)=(2x^2+2x+a)/(x+1)
只需2x^2+2x+a=0在(-1,+∞)上有两个相异的根
需Δ=4-4*2*a＞0且对称轴为x=-1/2>-1且f(-1)>0
解得0＜a＜1/2
解方程2x^2+2x+a=0可得x1=(-1-√1-2a)/2,x2=(-1+√1-2a)/2
又f'(x)在(-1,x1)大于0,在(x1,x2)上f'(x)小于0,在(x2,+∞)上f'(x)大于0
所以f(x)的增区间为(-1,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2)
②f(x2)=f((-1+√1-2a)/2))=(1-a-√1-2a)/2+(aln(1+√1-2a))/2
>（1-2ln2）/4(其中0＜a＜1/2）