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已知函数f(x)=x^2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1(1-2ln2)/4
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已知函数f(x)=x^2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1 1.求a的取值范围和f(x)的单调性2.证明:f(2)>(1-2ln2)/4
▼优质解答
答案和解析
①定义域为(-1,+∞)
f'(x)=(2x^2+2x+a)/(x+1)
只需2x^2+2x+a=0在(-1,+∞)上有两个相异的根
需Δ=4-4*2*a>0且对称轴为x=-1/2>-1且f(-1)>0
解得0<a<1/2
解方程2x^2+2x+a=0可得x1=(-1-√1-2a)/2,x2=(-1+√1-2a)/2
又f'(x)在(-1,x1)大于0,在(x1,x2)上f'(x)小于0,在(x2,+∞)上f'(x)大于0
所以f(x)的增区间为(-1,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2)
②f(x2)=f((-1+√1-2a)/2))=(1-a-√1-2a)/2+(aln(1+√1-2a))/2
>(1-2ln2)/4(其中0<a<1/2)
f'(x)=(2x^2+2x+a)/(x+1)
只需2x^2+2x+a=0在(-1,+∞)上有两个相异的根
需Δ=4-4*2*a>0且对称轴为x=-1/2>-1且f(-1)>0
解得0<a<1/2
解方程2x^2+2x+a=0可得x1=(-1-√1-2a)/2,x2=(-1+√1-2a)/2
又f'(x)在(-1,x1)大于0,在(x1,x2)上f'(x)小于0,在(x2,+∞)上f'(x)大于0
所以f(x)的增区间为(-1,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2)
②f(x2)=f((-1+√1-2a)/2))=(1-a-√1-2a)/2+(aln(1+√1-2a))/2
>(1-2ln2)/4(其中0<a<1/2)
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