已知复数z满足z+7z∈R，又|z-1|+|z-3|=4，求复数z．

Question

已知复数z满足z+(7)/(z)∈R，又|z-1|+|z-3|=4，求复数z．

Answer 1

因为z+(7)/(z)∈R，所以

.

z+(7)/(z)

＝z+(7)/(z)，则

.

z

+(7)/(.z)＝z+(7)/(z)，
所以z−

.

z

+(7)/(z)−(7)/(.z)＝0，即(z−

.

z

)(1−(7)/(z.z))＝0，
所以z−

.

z

＝0或者z

.

z

＝7，即z∈R（z≠0）或|z|²=7．
（1）当z∈R（z≠0）时，|z-1|+|z-3|=4，所以z=4或者z=0（舍去）；
（2）当|z|²=7时，设z=x+yi（x，y∈R），则x²+y²=7…①，
又|z-1|+|z-3|=4，由题意可知((x−2)2)/(4)+(y2)/(3)＝1…②，
根据①②，可得x＝2，  y＝±√(3)，所以z＝2±√(3)i；
综上所述，z＝2±√(3)i或者z=4．